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author: Mireille Coilhac
title: Variables aléatoires discrètes
tags:
- probabilités
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## I. Introduction
???+ question "Un jeu d'argent"
{ width=20% }
Une expérience aléatoire se déroule en deux temps :
On tire, au hasard, une boule dans un sac contenant trois boules rouges numérotées 0, 1, 2 ;
puis on tire, au hasard, une boule dans un autre sac contenant quatre boules noires numérotées 1, 2, 3, 4.
Les **issues** de cette **expérience aléatoire** sont donc des couples de nombres.
Les tirages se font au hasard, chaque issue est **équiprobable**.
**1.** À l’aide d’un arbre, déterminer tous les couples qui peuvent être obtenus.
??? success "Indice 1"
{ width=20%}
<!--
graph LR
O( )
A( )
B( )
C( )
D( )
E( )
F( )
G( )
H( )
I( )
J( )
K( )
M( )
N( )
P( )
Q( )
O --- A
O --- B
O --- C
A --- D
A --- E
A --- F
A --- G
B --- H
B --- I
B --- J
B --- K
C --- M
C --- N
C --- P
C --- Q
-->
??? success "Réponse"
{ width=20%}
$$
E={(0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)}
$$
**2.** On s’intéresse au produit des nombres de chaque couple. On note $X$ le résultat obtenu. Déterminer tous les produits possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.
??? success "Réponse"
{ width=30%}
**3.** Les tirages sont maintenant utilisés pour un jeu : pour une mise de 1 €, on gagne 4 € si le produit est impair, sinon on ne gagne rien. Dans les deux cas, on perd la mise de 1 €. On note $Y$ le gain (qui peut être négatif) obtenu à chaque fois. Déterminer tous les gains possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.
??? success "Réponse"
{ width=35%}
!!! info "Variable aléatoire"
Dans cet exemple on, a défini deux variables aléatoires n$x$ et $Y$
$X$ peut prendre comme valeurs : 0; 1; 2; 3; 4; 6; 8.
$Y$ peut prendre comme valeurs : 3; -1.
## II. Variables aléatoires
!!! info "Définition"
* On dit qu'on associe une variable aléatoire sur un ensemble $E$ lorsqu'à chaque issue de $E$ on associe un nombre réel.
* Une variable aléatoire est donc une fonction de l'univers $E$ vers l'ensemble $\mathbb{R}$
### loi de probabilité d'une variable aléatoire
Reprenons l'exemple de l'introduction.
!!! info "Notation"
La probabité que $X$ soit égal à 0 est d'après l'arbre $\dfrac{4}{12}$
On note : $P(X=0)=\dfrac{4}{12}$
!!! info "Loi de probabilité"
La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
|$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
| :--- | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
| $P(X=x_i)$| | | | | | | |
👉 Il faut écrire les valeurs de $x_i$ dans l'ordre croissant dans la première ligne du tableau
???+ question "Le jeu d'argent"
**1.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
??? success "Solution"
|$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
| :--- | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
| $P(X=x_i)$| $\dfrac{4}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{2}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{2}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ |$\dfrac{4}{12}$ |
👉 Il n'est pas nécessaire de simplifier les fractions obtenues. Cela permet très rapidement de vérifier que la somme de toutes les probabilités obtenues est bien égale à 1.
**2.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$
??? success "Solution"
|$y_i$|-1|3|
| :--- | :----: | :----: |
| $P(Y=y_i)$| $\dfrac{10}{12}$ | $\dfrac{2}{12}$ |
!!! info "Loi de probabilité"
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par :
* l'ensemble des valeurs ${x_1, x_2,..., x_r }$ prises par la variable aléatoire
* les probabilités $P(X=x_i)$ prises par $X$ pour toutes les valeurs $x_i$
👉 Il est habituel de présenter une loi de probabilité sous la forme d'un tableau, comme vu dans l'exemple.
???+ question "Evenements incompatibles"
**1.** Comment définit-on le fait que les évenements $A$ et $B$ sont incompatibles ?
??? success "Réponse"
$A \cap B = \varnothing$
Ce qui équivaut à : $P(A \cap B) = 0$
**2.** Si $A$ et $B$ sont incompatibles que peut-on en déduire pour $P(A \cup B)$ ?
??? success "Réponse"
$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$ car $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ avec $P(A \cap B) = 0$
**3.** Dans l'exemple de l'introduction, les événements $X=0$ et $X=1$ sont-ils incompatibles ?
??? success "Réponse"
On ne peut pas avoir à la fois $X=0$ et $X=1$ donc ces évenements sont bien incompatibles
**4.** En déduire $P(X \leq 1 )$
??? success "Réponse"
$P(X \leq 1 ) = P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{4}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}$
!!! info "Propriété"
* Univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$
* $X=x_1$, $X=x_2$,..., $X=x_r$ sont des évenements **incompatibles**
On en déduit que :
!!! info "À retenir"
$P(X=x_1)+P(X= x_2)+...+P(X=x_r)=1$
On écrit aussi
$\sum_{i=1}^{r} P(X=x_i) = 1$
## III. Espérance mathématique
???+question "Jeu d'argent"
On avait :
|$y_i$|-1|3|
| :--- | :----: | :----: |
| $P(Y=y_i)$| $\dfrac{10}{12}$ | $\dfrac{2}{12}$ |
Si on joue un très grand nombre de fois, quelle somme peut-on espérer gagner ?
??? success "Réponse"
$-1 \times \dfrac{10}{12} + 3 \times \dfrac{2}{12}=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}$
En moyenne on perd environ 33 centimes.
👉 On note $E(Y)=-\dfrac{1}{3}$
!!! info "Espérance mathématique"
Soit $X$ une variable aléatoire, et l'univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$
On note $P(X=x_1)=p_i$
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ se note $E(X)$
$E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_rx_r=\sum_{i=1}^{r} p_i x_i$
## IV. Exercices
[Exercices - série 1](https://coopmaths.fr/alea/?uuid=0f776&id=can1P08&uuid=e3c_2020_00_sujet45_2&uuid=e3c_2021_01_specimen2_3&uuid=e3c_2020_00_sujet29_2&uuid=e3c_2020_00_sujet63_3&uuid=e3c_2021_01_specimen3_3&uuid=e3c_2021_01_specimen4_3&uuid=e3c_2020_00_sujet65_4&uuid=e3c_2020_00_sujet64_4&v=eleve&es=0211001&title=){ .md-button target="_blank" rel="noopener" }