ajout variables aléatoires

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docs/probas/probas.md

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 ## I. Le cours
 
+[Les probabilités : introduction](http://www.lumni.fr/video/petits-contes-mathematiques-les-probabilites){ .md-button target="_blank" rel="noopener" }
+
 [Cours de probabilité](a_telecharger/SIO1.UF2.CHAP05.Probas.elementaires.pdf){ .md-button target="_blank" rel="noopener" }
 
 ## II. Visualisation

docs/var_aleat/variables_aleatoires.md

+---
+author: Mireille Coilhac
+title: Variables aléatoires discrètes
+tags:
+    - probabilités
+---
+
+## I. Introduction
+
+???+ question "Un jeu d'argent"
+
+    ![intro urnes](images/intro_urnes.png){ width= 20%}
+
+    Une expérience aléatoire se déroule en deux temps :
+
+	On tire, au hasard, une boule dans un sac contenant trois boules rouges numérotées 0, 1, 2 ;
+	puis on tire, au hasard, une boule dans un autre sac contenant quatre boules noires numérotées 1, 2, 3, 4.
+
+    Les **issues** de cette **expérience aléatoire** sont donc des couples de nombres.
+    Les tirages se font au hasard, chaque issue est **équiprobable**.
+
+    **1.**	À l’aide d’un arbre, déterminer tous les couples qui peuvent être obtenus.
+
+    ??? success "Indice 1"
+
+    ![intro urnes](images/intro_arbre_1.png){ width= 20%}
+
+    <!--
+    graph LR
+    O( )
+    A( )
+    B( )
+    C( )
+    D( )
+    E( )
+    F( )
+    G( )
+    H( )
+    I( )
+    J( )
+    K( )
+    M( )
+    N( )
+    P( )
+    Q( )
+    O --- A 
+    O --- B
+    O --- C
+    A --- D
+    A --- E
+    A --- F
+    A --- G
+    B --- H
+    B --- I
+    B --- J
+    B --- K
+    C --- M 
+    C --- N
+    C --- P
+    C --- Q
+    -->
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        ![arbre 1](images/intro_arbre_2.png){ width= 20%}
+
+        $$
+        E={(0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)}
+        $$
+
+    **2.** On s’intéresse au produit des nombres de chaque couple. On note $X$ le résultat obtenu. Déterminer tous les produits possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        ![arbre 1](images/intro_arbre_3.png){ width= 30%}
+
+    **3.** Les tirages sont maintenant utilisés pour un jeu : pour une mise de 1 €, on gagne 4 € si le produit est impair, sinon on ne gagne rien. Dans les deux cas, on perd la mise de 1 €. On note $Y$ le gain (qui peut être négatif) obtenu à chaque fois. Déterminer tous les gains possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        ![arbre 1](images/intro_arbre_4.png){ width= 35%}
+
+    !!! info "Variable aléatoire"
+
+        Dans cet exemple on, a défini deux variables aléatoires n$x$ et $Y$
+
+        $X$ peut prendre comme valeurs : 0; 1; 2; 3; 4; 6; 8.  
+        $Y$ peut prendre comme valeurs : 3; -1.
+
+## II. Variables aléatoires
+
+!!! info "Définition"
+
+    * On dit qu'on associe une variable aléatoire sur un ensemble $E$ lorsqu'à chaque issue de $E$ on associe un nombre réel.
+    * Une variable aléatoire est donc une fonction de l'univers $E$ vers l'ensemble $\mathbb{R}$
+
+### loi de probabilité d'une variable aléatoire
+
+Reprenons l'exemple de l'introduction.
+
+!!! info "Notation"
+
+    La probabité que $X$ soit égal à 0 est d'après l'arbre $\dfrac{4}{12}$
+
+    On note : $P(X=0)=\dfrac{4}{12}$
+
+!!! info "Loi de probabilité"
+
+    La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
+
+    |$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
+    | :---    | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
+    | $P(X=x_i)$|   |   |   |   |   |   | |
+
+    👉 Il faut écrire les valeurs de $x_i$ dans l'ordre croissant dans la première ligne du tableau
+
+???+ question "Le jeu d'argent"
+
+    **1.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
+
+    ??? success "Solution"
+
+        |$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
+        | :---    | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
+        | $P(X=x_i)$| $dfrac{4}{12}$  |  $dfrac{1}{12}$  |  $dfrac{2}{12}$  | $dfrac{1}{12}$   | $dfrac{2}{12}$   | $dfrac{1}{12}$   |$dfrac{4}{12}$ |
+
+    👉 Il n'est pas nécessaire de simplifier les fractions obtenues. Cela permet très rapidement de vérifier que la somme de toutes les probabilités obtenues est bien égale à 1.
+
+    **2.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$
+
+    ??? success "Solution"
+
+        |$y_i$|-1|3|
+        | :---    | :----: | :----: | 
+        | $P(Y=y_i)$| $dfrac{10}{12}$  |  $dfrac{2}{12}$  |  
+
+!!! info "Loi de probabilité"
+
+    La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par : 
+
+    * l'ensemble des valeurs ${x_1, x_2,..., x_r } prises par la variable aléatoire
+    * les probabilités $P(X=x_i)$ prises par $X$ pour toutes les valeurs $x_i$
+
+    👉 Il est habituel de présenter une loi de probabilité sous la forme d'un tableau, comme vu dans l'exemple.
+
+???+ question "Evenements incompatibles"
+
+    **1.** Comment définit-on le fait que les évenements $A$ et $B$ sont incompatibles ?
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        $A \cap B = \varnothing$
+
+        Ce qui équivaut à : $P(A \cap B) = 0$
+
+    **2.** Si $A$ et $B$ sont incompatibles que peut-on en déduire pour $P(A \cup B)$ ?
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ car $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ avec $P(A \cap B) = 0$
+
+    **3.** Dans l'exemple de l'introduction, les événements $X=0$ et $X=1$ sont-ils incompatibles ?
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        On ne peut pas avoir à la fois $X=0$ et $X=1$ donc ces évenements sont bien incompatibles
+
+    **4.** En déduire $P(X \leq 1 )$
+
+    ??? success "Réponse"  
+
+        $P(X \leq 1 ) = P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{4}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}$
+
+    !!! info "Propriété"
+
+        * Univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$
+        * $X=x_1$, $X=x_2$,..., $X=x_r$ sont des évenements **incompatibles**
+
+        On en déduit que : 
+
+        !!! info "À retenir"
+
+            $P(X=x_1)+P(X= x_2)+...+P(X=x_r)=1$
+
+            On écrit aussi 
+
+            $\sum_{i=1}^{r} P(X=x_i) = 1$
+
+## III. Espérance mathématique
+
+???+question "Jeu d'argent"
+
+    On avait : 
+
+    |$y_i$|-1|3|
+    | :---    | :----: | :----: | 
+    | $P(Y=y_i)$| $dfrac{10}{12}$  |  $dfrac{2}{12}$  |  
+
+    Si on joue un très grand nombre de fois, quelle somme peut-on espérer gagner ?
+
+    ??? success "Réponse"
+
+        $-1 \times \dfrac{10}{12} + 3 \times \dfrac{2}{12}=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}$
+
+        En moyenne on perd environ 33 centimes.
+
+        👉 On note $E(Y)=-\dfrac{1}{3}$
+
+
+!!! info "Espérance mathématique"
+
+    Soit $X$ une variable aléatoire, et l'univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$  
+    On note $P(X=x_1)=p_i$
+
+    L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ se note $E(X)$
+
+    $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_rx_r=\sum_{i=1}^{r} p_i x_i$
+
+## IV. Exercices
+
+[Exercices - série 1](https://coopmaths.fr/alea/?uuid=0f776&id=can1P08&uuid=e3c_2020_00_sujet45_2&uuid=e3c_2021_01_specimen2_3&uuid=e3c_2020_00_sujet29_2&uuid=e3c_2020_00_sujet63_3&uuid=e3c_2021_01_specimen3_3&uuid=e3c_2021_01_specimen4_3&uuid=e3c_2020_00_sujet65_4&uuid=e3c_2020_00_sujet64_4&v=eleve&es=0211001&title=){ .md-button target="_blank" rel="noopener" }
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