variables_aleatoires.md


author: Mireille Coilhac
title: Variables aléatoires discrètes
tags:
    - probabilités
![intro urnes](images/intro_urnes.png){ width=20% }

Une expérience aléatoire se déroule en deux temps :

On tire, au hasard, une boule dans un sac contenant trois boules rouges numérotées 0, 1, 2 ;
puis on tire, au hasard, une boule dans un autre sac contenant quatre boules noires numérotées 1, 2, 3, 4.

Les **issues** de cette **expérience aléatoire** sont donc des couples de nombres.
Les tirages se font au hasard, chaque issue est **équiprobable**.

**1.** À l’aide d’un arbre, déterminer tous les couples qui peuvent être obtenus.

??? success "Indice 1"

    ![intro urnes](images/intro_arbre_1.png){ width=20%}

    <!--
    graph LR
    O( )
    A( )
    B( )
    C( )
    D( )
    E( )
    F( )
    G( )
    H( )
    I( )
    J( )
    K( )
    M( )
    N( )
    P( )
    Q( )
    O --- A
    O --- B
    O --- C
    A --- D
    A --- E
    A --- F
    A --- G
    B --- H
    B --- I
    B --- J
    B --- K
    C --- M
    C --- N
    C --- P
    C --- Q
    -->

??? success "Réponse"

    ![arbre 1](images/intro_arbre_2.png){ width=20%}

    $$
    E={(0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)}
    $$

**2.** On s’intéresse au produit des nombres de chaque couple. On note $X$ le résultat obtenu. Déterminer tous les produits possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.

??? success "Réponse"

    ![arbre 1](images/intro_arbre_3.png){ width=30%}

**3.** Les tirages sont maintenant utilisés pour un jeu : pour une mise de 1 €, on gagne 4 € si le produit est impair, sinon on ne gagne rien. Dans les deux cas, on perd la mise de 1 €. On note $Y$ le gain (qui peut être négatif) obtenu à chaque fois. Déterminer tous les gains possibles et les noter au bout des branches de l’arbre.

??? success "Réponse"

    ![arbre 1](images/intro_arbre_4.png){ width=35%}

!!! info "Variable aléatoire"

    Dans cet exemple on, a défini deux variables aléatoires n$x$ et $Y$

    $X$ peut prendre comme valeurs : 0; 1; 2; 3; 4; 6; 8.
    $Y$ peut prendre comme valeurs : 3; -1.
* On dit qu'on associe une variable aléatoire sur un ensemble $E$ lorsqu'à chaque issue de $E$ on associe un nombre réel.
* Une variable aléatoire est donc une fonction de l'univers $E$ vers l'ensemble $\mathbb{R}$
La probabité que $X$ soit égal à 0 est d'après l'arbre $\dfrac{4}{12}$

On note : $P(X=0)=\dfrac{4}{12}$
La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

|$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
| :---    | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
| $P(X=x_i)$|   |   |   |   |   |   | |

👉 Il faut écrire les valeurs de $x_i$ dans l'ordre croissant dans la première ligne du tableau
**1.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$

??? success "Solution"

    |$x_i$|0|1|2|3|4|6|8|
    | :---    | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
    | $P(X=x_i)$| $\dfrac{4}{12}$  |  $\dfrac{1}{12}$  |  $\dfrac{2}{12}$  | $\dfrac{1}{12}$   | $\dfrac{2}{12}$   | $\dfrac{1}{12}$   |$\dfrac{4}{12}$ |

👉 Il n'est pas nécessaire de simplifier les fractions obtenues. Cela permet très rapidement de vérifier que la somme de toutes les probabilités obtenues est bien égale à 1.

**2.** Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$

??? success "Solution"

    |$y_i$|-1|3|
    | :---    | :----: | :----: |
    | $P(Y=y_i)$| $\dfrac{10}{12}$  |  $\dfrac{2}{12}$  |
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par :

* l'ensemble des valeurs ${x_1, x_2,..., x_r }$ prises par la variable aléatoire
* les probabilités $P(X=x_i)$ prises par $X$ pour toutes les valeurs $x_i$

👉 Il est habituel de présenter une loi de probabilité sous la forme d'un tableau, comme vu dans l'exemple.
**1.** Comment définit-on le fait que les évenements $A$ et $B$ sont incompatibles ?

??? success "Réponse"

    $A \cap B = \varnothing$

    Ce qui équivaut à : $P(A \cap B) = 0$

**2.** Si $A$ et $B$ sont incompatibles que peut-on en déduire pour $P(A \cup B)$ ?

??? success "Réponse"

    $\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$ car $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ avec $P(A \cap B) = 0$

**3.** Dans l'exemple de l'introduction, les événements $X=0$ et $X=1$ sont-ils incompatibles ?

??? success "Réponse"

    On ne peut pas avoir à la fois $X=0$ et $X=1$ donc ces évenements sont bien incompatibles

**4.** En déduire $P(X \leq 1 )$

??? success "Réponse"

    $P(X \leq 1 ) = P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{4}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}$

!!! info "Propriété"

    * Univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$
    * $X=x_1$, $X=x_2$,..., $X=x_r$ sont des évenements **incompatibles**

    On en déduit que :

    !!! info "À retenir"

        $P(X=x_1)+P(X= x_2)+...+P(X=x_r)=1$

        On écrit aussi

        $\sum_{i=1}^{r} P(X=x_i) = 1$
On avait :

|$y_i$|-1|3|
| :---    | :----: | :----: |
| $P(Y=y_i)$| $\dfrac{10}{12}$  |  $\dfrac{2}{12}$  |

Si on joue un très grand nombre de fois, quelle somme peut-on espérer gagner ?

??? success "Réponse"

    $-1 \times \dfrac{10}{12} + 3 \times \dfrac{2}{12}=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}$

    En moyenne on perd environ 33 centimes.

    👉 On note $E(Y)=-\dfrac{1}{3}$
Soit $X$ une variable aléatoire, et l'univers $\Omega={x_1, x_2,..., x_r }$
On note $P(X=x_1)=p_i$

L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ se note $E(X)$

$E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_rx_r=\sum_{i=1}^{r} p_i x_i$